円周角の定理の逆、三平方の定理の逆

この記事は、中学３年で習う、円周角の定理、三平方の定理はある程度ご存じのかたを想定した記事となります。数学ごりごりの記事でごめんなさいね。当教室ブログにはそうでない記事もございますので、よろしければそういう記事もどうぞご覧ください。

星くず算数・数学教室をやっておりまして、円周角の定理、三平方の定理をご存じのかたの多くが、習っていても忘れていることが多いものに気づきました。「円周角の定理の逆」と「三平方の定理の逆」です。それらを紹介しますね。

まず、円周角の定理の逆です。以下の図のように、直線ABがあって、直線ABから同じ側に点Cと点Dがあり、∠ACBの大きさと、∠ADBの大きさが等しいとき、４点A,B,C,Dは同一円周上にあることを主張するものです。

一直線上にない３点が同一円周上にあることは、「当たり前」であるという認識のうえに書かれた主張です。一直線上にない３点は、その３点を頂点とする三角形の「外接円」上にあるわけです。以下の絵のように、三角形ABCの外接円（３点A,B,Cを通る円）上に点Dがないことはあり得ますので、４点が同一円周上にあるということを主張するのは「当たり前でない」ことを主張しています。

それで、∠ACBの大きさと、∠ADBの大きさが等しくて、４点A,B,C,Dが同一円周上にないとしましょう。つまり、下の絵のような状態にあるとしましょう。

円周角の定理の証明は終わっていて、使っていいとしますと、以下の絵のように補助線を引き、円周角の定理から、∠ACBと、∠AD’Bの大きさが等しくなります。すなわち、∠ADBと∠AD’Bの大きさが等しくなって、それは△BDD’に着目するとおかしいわけです。これは、結論を否定して矛盾を導くという、高校で習う背理法を使わせていただきましたが、円周角の定理の逆の証明の紹介でした。点D’が△ABCの外接円の内側にあっても同様に議論できます。中学の教科書でもこのように証明してあります。

（それにしても、円周角の定理の「発見」をした人はすごいですね。「証明」は中学の教科書も読者にやらせようとしていますが、「発見」は並みではないクリエイティヴィティが発揮されないとなされないでしょうね。）

ついで、三平方の定理の逆のご紹介もしますね。

${a^2+b^2=c^2}$を満たす３つの数${a,b,c}$がある。このとき、３辺の長さを${a,b,c}$とするような三角形は、直角三角形である。

という主張です。これの証明も紹介いたしますね。

３辺の長さが${a,b,c}$であるような三角形の図を描きます。まだこれが直角三角形であるとはわかっていないので、あえて直角三角形でないかのように描きました。

それで、直角の両サイドの辺の長さが${a,b}$であるような直角三角形の絵をかきます。これは直角三角形であること、そして、今回も三平方の定理の証明はすんでいるということで、三平方の定理を使いますと、この三角形の斜辺の長さは、${\sqrt{a^2+b^2}}$であって、仮定からこれは${c}$であるわけです。

すると、先ほどの、３辺の長さが${a,b,c}$で描いた三角形と、いまの三角形は、いずれも３辺の長さが${a,b,c}$になるわけです。３辺の長さがそれぞれ等しい三角形は合同であることを使いますと、これら２つの三角形は合同となります。合同な三角形の対応する角の大きさは等しいことを使いますと、最初の三角形は直角三角形となり、証明が終わりとなります。

正しい主張を「定理」と呼ぶのは、このように、人間が見て「美しいな」と思う「主観」で決まっています。数学の論文でも、「補題」とか「命題」とか「主張」とか、いろいろなものがあったのち「定理」と言われる「美しい」性質が書かれます。これらの定理は「逆が成り立つ」という美しい性質を持っています。以下に、普通、定理とは言われない、正しい主張を書きますね。

「合同な２つの三角形は、面積が等しい」。

これは正しい主張ですが、逆である「面積の等しい２つの三角形は、合同である」というものが成り立ちません。それで、あまりありがたみが感じられないのですね。それで「合同な２つの三角形は、面積が等しい」というのは、正しい主張ですけど、あまり定理と呼ばない（定理と呼ぶ気が起きない）というわけです。

数学では、必要十分条件を探すことが重視されます。同じことを違う言いかた（多くはシンプルな言いかた）で言い換えたいのですね。ポアンカレ予想も逆が成り立つことを主張していました。３次元球面は単連結な３次元閉多様体であることは明らかでした。単連結な３次元閉多様体は３次元球面だけであることは長いこと明らかでありませんでした。私が大学院生であった2003年ごろ、証明されました。しかし、最初のポアンカレの予想は、1903年くらいであったと聞きます。これも逆が成り立つ幾何の性質だったわけですね。

「こういうときは、公証役場で手続きをしないとお金は借りられないよ」と言われたことがあります。しかし、その人の話をよく聞くと「自分は公証役場に行ったらお金が借りられた」ということしか意味しておらず、「公証役場に行かないとお金が借りられない」ということは意味していないのでした。しかし、この種の詭弁は世の中にたくさんある気がします。円周角の定理、三平方の定理は、逆が成り立つので、美しい性質と思われ、「定理」と呼ばれ、義務教育で習うわけでした。

最後に演習問題です。日常生活で、逆が成り立つとは限らないのに、成り立つかのような詭弁の例を挙げてください。意外とたくさんあると思いますよ！本日は以上です！