${4^n-1}$が${3}$の倍数になることの「鮮やかな」証明

本日のは高校数学テクニカルで、しかも大したことがないかもしれませんが、よろしければどうぞご覧ください。

${n}$が自然数のとき、${4^n-1}$は必ず${3}$の倍数になることを示せ。

という問いへの、数列の和の公式を用いた「鮮やかな」証明を書きますね。

初項が${1}$、公比が${4}$、項数が${n}$の等比数列の和は、${\frac{4^n-1}{4-1}}$となります。これは、整数の和なので、整数になります。

ところで、${\frac{4^n-1}{3}}$が整数だということは、${4^n-1}$は${3}$の倍数です。証明終わり。

いかがでしょうか。くだらなくてすみませんね。また今度！