「そうなるようにラジアンを定めたのであるから当たり前であるが」

本日の記事は、「数学がちがち」だと思います。微分と三角関数の知識を前提としています。すみません。当教室のブログにはもう少し気楽な記事もございますので、場合によってはよろしければそういったものをご覧くだされば、と思います。

高校では、１年生で三角比を習います。サイン、コサイン、タンジェントですね。そして、高校２年生で三角比は関数となって、三角関数を習います。ラジアンという新しい角度の単位を習うわけです。そして、微分を習います。「そもそも微分とは何か」を習ったうえで、まずは多項式関数の微分、積分を習います。そして、三角関数の微分を習う、という、おおまかにそういった順に習います。

以下は、30年以上前、私が現役高校生だったときに、三角関数の微分を習うときに疑問に思ったことを書くことにいたしますね。現在でいう「数学Ⅲ」の知識になります。納得のいかない証明があったのです。

${f(x)=\sin x}$を微分するときに必ず使わねばならない以下の極限があります。

$${\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1}$$

これは有名な性質です。これは${y=\sin x}$という関数の${x=0}$における傾きが${1}$であると言っています。${\sin x}$を${x}$の１次式で近似したら${x}$であることを言っているとも言えます。ラジアンという角度の単位を導入したから言える性質であると言えるでしょう。これの証明が、教科書によれば以下のように書いてあったのです。

図のような三角形を考えます。三角形および扇形の面積の大小から、${\triangle OAB<扇形 OAB<\triangle OAT}$となります。すなわち、${\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \sin x<\frac{1}{2}\cdot 1^2 \cdot x<\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \tan x}$が成り立ちます。ここから式変形をすると、${\cos x<\frac{\sin x}{x}<1}$となり、${x\to 0}$とすると、${\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1}$がいえるというわけなのです。いま、暗黙のうちに${x>0}$と考えましたが、${x<0}$でも同様の議論ができます。

私はこの証明を習ったとき「どうもおかしいな」と思ったのです。

どこに疑問を抱いたかと言いますと、この証明には扇形の面積の公式が用いられているところです。つまり、円の面積の公式が用いられているわけです。しかし、私は円の面積の公式は、小学校で習っただけで、そこからアップデートはされていなかったわけです。そして、小学校の時代にどのように円の面積の公式を納得させられてきたかと言いますと、以下のような絵を描いて納得させられて来たのです。

円を細かい扇形に分割します。そして、それらを組み合わせて、以下のような平行四辺形ないし長方形を作ります。その長方形は、たての長さが半径で、よこの長さが半径かける円周率です。これで、円の面積は、半径かける半径かける円周率だと納得させられてきたのです。

しかし、これは、その長方形のよこの長さを「半径かける円周率」だと納得させられています。これは確かに円周の長さの半分、すなわち、直径かける円周率の半分で、半径かける円周率なのでしょうが、長さまでそれに近づくと言えるのでしょうか。

もし、長さまでそれに近づくとしたら、まさにそれは「${\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1}$」を使っているのではないか。すなわち「${\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1}$」を証明するのに「${\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1}$」を使っている、循環論法ではないか、というのが私の疑問でした。

ある図形の極限がある線分に近づいても、長さまで近づかない例を挙げますね。以下の図をご覧ください。１辺が１kmの正方形です。私の住んでいる町の地図です。このあたりは町全体がいわゆる「碁盤の目」のような道になっています。この右下に図書館があり、左上にクリニックがあります。大通りを行けば２kmの道のりです。これを、図のように、近道をしようとしてジグザグに歩きますと、経路はどんどん対角線に近づいていきますが、歩く道のりは２のままです。対角線の長さは${\sqrt{2}}$であるわけです。これが反例であると言えるわけです。

私は授業後、職員室に質問に行きました。そのときの数学の先生は、学者肌の先生でした。先生は私の言うことをわかってくださり、「そうですね。これだときみの言う通り、循環論法になりますね。まあ、これは大学に行ったらきちんと習いますから…」と先生はおっしゃいました。しかし、大学に行ったらこのようなものは「当たり前」であり、改めて習ったりはしないのでした。

それから15年くらいが経過した話となります。私は大学に入り、専門が数学となり、大学院に行き、位相幾何学を専攻して修士論文を書き、博士課程で取り返しのつかないような統合失調症をやり、博士論文が書けなくなって、30歳で中高の教員となったら、とてつもないダメ教員だったのでした。そして、教員になって３年目くらいで、これを教えるタイミングが来たのです。やはりこれは教科書に「証明」となって載っているのでした。（ちなみに、2024年現在でもこれは証明として載っています。）

私は職員室で周囲の数学の教員に質問しました。私の質問の意図が伝わったのかどうかはわかりません。ある数学科出身の教員が、高木貞治「解析概論」を持って来ました。私はこの有名な数学の本を読んだことはありません。この本の「${\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1}$」の証明を見てみると、高木さんは「そうなるようにラジアンを定めたのであるから当たり前であるが」と断ったうえで、高校の教科書とは少し違う証明を載せておられました。しかし、私には、高木さんの本音は「そうなるようにラジアンを定めたのであるから当たり前であるが」というところにあると思いました。

このように、ラジアンというものは「当たり前」のものとも言えるわけです。${\sin x}$を微分したらぴったり${\cos x}$になるように定めた角度の単位です。これは、私が勤めていた学校では、理系に進んだ高校生しか習わないものでした。しかし、三角関数そのものは文系の高校生でも習います。すなわち、高校で文系に進まれたかたは、ラジアンというものが導入された意義がついにわからないまま、高校を卒業なさるのかもしれない、とも思ったりいたします。

本日は、数学がちがちの記事でたいへん失礼いたしました。このような議論はいろいろあります。ラジアン、すなわち円周率とはとてもおもしろいものなのでした。