方べきの定理で、高校の教科書が証明を飛ばしているところを埋めた

高校の「数学A」の教科書に「方べきの定理」というものが載っています。「方べきの定理の逆」も載っていますが、以下の主張は、教科書は証明を飛ばしています。これを埋めてみました。というわけで、数学がちがちの記事ですが、よろしければどうぞお付き合いください。

一直線上にない３点A、B、Tおよび線分ABの延長上の点Pについて、${PA\cdot PB=PT^2}$が成り立つならば、直線PTは3点A、B、Tを通る円に接する。

証明を以下に書きます。これでよいかどうか、どうぞご一緒にお考えください。

3点A、B、Tは一直線上にないため、この3点を通る円はひとつ存在する。これを円ABTと呼ぶことにする。

直線PTが円ABTに接しないと仮定する。

平面上における直線と円の位置関係は、（１）２点で交わる、（２）１点で接する、（３）共有点を持たない、の３種しかない。このうち、仮定から（２）はない。また、点Ｔは、円ABT上にあり、直線PT上にもあるため、この直線と円は共有点を持たないこともない。すなわち、直線PTと円ABTは、異なる２点で交わる。この２点のうち、Tでないほうの点を、T’とする。