４つのものを並べる場合は何通りか

小学生のころの話です。５、６年のときの担任の先生を思い出しますので、５年生か６年生のときのことだということになります。先生は、４つの異なるものを並べる場合が何通りあるか、黒板に下の図のような絵を描き、説明しておられました。こういうのを「樹形図」と言います。木の枝のような形をしているからです。（ぼけた写真ですみません。）

現代の小学生も、これは習います。現在は、６年生で習うことになります。

この黒板の絵を見ていた、当時、小学生だった私の気付いたことがあります。最初の文字を並べる場合は、４文字あるので、４通りあります。その、おのおのについて、つぎの２文字目を決める場合は、残り３文字から選びますので、３通りです。その、おのおのについて、つぎの３文字目を決める場合は、残り２文字から選びますので、２通りです。この続きをあえて申しますと、最後の文字は、残った１文字にしかなりませんので、おのおの１通りです。この樹形図はそうなっているのでした。

つまり、４つのものの並べ方は、${4\times3\times2\times1}$で、${24}$通りだったことになります！

この計算は、少なくとも高校１年生では習います。しかし、私は、この計算に、習う前から気付いていたという人には、48年生きてきて、お目にかかったことがありません。もしかしたら皆さん言わないだけかもしれませんが、少なくとも東大に行って「それそれ！オレもそう思っていたんだー」という仲間には出会わなかったものです。

そして、これに気付いた私がつぎに衝撃を受けることがありました。私は５個のものの並べ方が何通りあるのか、計算しました。すると、${5\times4\times3\times2\times1}$で、${120}$通りになったのです！たった５個のものの並べ方で、${120}$通りもあるのか！と思って、衝撃を受けました。

そこで、実際に５個の文字を書き並べて確かめ始めました。そこで、さらなる衝撃が私を襲いました。ほんとうに120通り、あったのです！

同様にして、６個のものの並べ方は、720通りあるのでした。さすがにこれはやってみませんでしたが、ただ驚くばかりでした。

このすぐあとではないのですが、少しして、以下のことにも気づきました。

２個のものの並べ方は２通りあるわけですが、ここへ３個目を投入すると、以下の図のように、あと３通りが増えます。「すべての前」「２個のもののあいだ」「すべての最後」に３個目が入るので、３個目の投入で、あと３倍になるのです。