四角形に内接する円についての「いい大学入試問題」を思いついた

本日は、がちがちの数学ネタですが、よろしければお立ち寄りください。高校１年生の内容で、もしかしたら大学入試の良問かもしれないものです。

教科書に、以下のような問いが載っています。

下の図のように、円Ｏが四角形ABCDの各辺に点P、Q、R、Sで接している。このとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。

AB+CD=BC+DA

これは教科書の問いなので、読者の皆さんにお任せします。これの逆も成り立つことに気づいた、という次第です。

つまり、四角形ABCDがあって、AB+CD=BC+DAが成り立つとき、この四角形の内側に４辺で内接する円が存在する、という主張です。これを証明してください。

では、証明を書きますね。（自分でやりたいかたは、以下はネタバレとなります。）

四角形に４辺で接する円が存在しないと仮定します。

四角形の３辺、AB、BC、CDに接する円は存在します。これが、DAで接しないわけです。

そこで、以下のように、点Aを通って、その円に接する直線を描き、それが直線CDと交わる点を、D’とします。DとD’は異なる点であるわけです。

すると、三角形ADD’というものが存在することになります。

ここで、もとの命題から、AB+CD’=BC+D’A・・・①が成り立ちます。

一方で、仮定から、AB+CD=BC+DA・・・②が成り立っています。

①から②を引いて、CD’-CD=D’A-DA　となります。

ここでCD’-CD=DD’なので、DD’=D’A-DA・・・③が成り立ちます。

いま、三角形ADD’が存在しますので、三角形の成立条件より、DD’>D’A-DA・・・④となります。③と④で矛盾します。背理法より証明終わり。

いかがでしょうか。なかなかいい問題ではないかと自画自賛しております。それではまた！