２人乗り浮き輪を変形させて120°回転対称にできますか？

これは、一見、専門的に見える数学の話ですが、よく読んでいただきますと、小学生の皆さんから考えていただける、楽しい算数の問いです。よろしければどうぞお読みください。

きっかけは、私が学部４年のときのセミナーで、サーストン（W.Thurston）の「Three-Dimensional Geometry and Topology（３次元幾何学とトポロジー）」を読んでいたときのことです。サーストンの「種数２の閉曲面を、３重の対称性を持つように３次元ユークリッド空間に埋め込め」という問いがあり、私がある解釈に基づいてそれを発表すると、それを聞いていた先生は「それは違うと思うよ。120°回転対称に埋め込め、という意味だと思うよ」とおっしゃいました。少しかみ砕いて書きますね。

以下のような、当教室のロゴがあります。これ、ロゴにして思ったのが、白目をむいている人間の顔に見えてなかなか不気味だな(笑)、ということでしたが、とにかくこれは「２人乗りの浮き輪」を意味しているとお思いください。（私は１度だけ「２人乗り浮き輪」の実物を見たことがあります。こういう研究に入ってすぐの修士課程１年の夏、ある友人の家に招かれ、近所の海へ海水浴に行ったところ、こういう浮き輪が貸し出されてあったのです。「２人乗り浮き輪」の実物を見たのはそのときだけです。）「縫い目」や「色」は無視してくださいね。

これが、いくらでも伸び縮みする材質でできているものとお思いください。ただし、切ったり貼ったりすることはできないものとします。それで、これをくにゃくにゃと変形させて、ある軸（直線）について、120°回転対称（120°回転させるともとの形にぴったり重なる）になるように、変形させてください、という問いです。私の言っていることは通じますかね？（これ、通じさえすれば、小学生でも意味がわかりますよね？）

私はその先生に聞かれて１分くらい考え、黒板に絵をかきました。その先生は「かかせてみるものですねえ！」と言いながら笑顔になられました。そして、「同じことだけど」と言いながら、ご自身の「模範解答」をお示しになりました。基本的に私と同じアイデアでした。

これは、ずっとのちにある地方都市で中高の教員をしていた時代に、一般のかたも参加できる夏休みの問いとしてお出しし、ある大学の数学の先生（ご専門は幾何ではないと思います）は、考えてみられて、思いつくのに３日かかったとレポートに書いてくださいましたが、これは考えれば小中学生でも思いつけると思います。

（※これが数学的に意味を持つのは、種数２の閉曲面の写像類群の元で、位数が３のものが、視覚的にわかりやすいもので存在する、ということでしょう。）

さて、いかがでしょうか？思いついたらお返事をくださいね。そして、思いつかなかったかたはどうぞお問い合わせをください。お答えいたしましょう！本日は以上です！